机器学习中的回归问题，类似于以往各种工程上的优化问题。定义一个 Cost Function：

(1)   \begin{equation*} J(\theta) = \frac{1}{2m}\sum_{i=1}^m(h_\theta(x^i)-y^i)^2 \end{equation*}

对这个函数求解最优化问题。

由于J是一个关于\theta的函数，所以目标是求一组最优的\theta，来使J取得最小值。

一个符合直觉的做法是Gradient Descent。也就是迭代地用 J 对 \theta 求导，顺着梯度最大的方向移动，直到收敛于最低点。

另一个方法则是Normal Equation，对我来说这是一个非常强的公式，可以把Gradient Descent花了那么多次迭代才解决的事用一次运算就搞定：

(2)   \begin{equation*} best \theta = (\mathbf{X}^\top\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^\top \overrightarrow{y} \end{equation*}

这里面的\mathbf{X}是一个矩阵，\overrightarrow{y}是列向量，\theta其实也是列向量。
\mathbf{X}的每一行是一个样本，第i行其实就是 x_i^1, x_i^2, x_i^3, \dots 这样的一组特征(feature)，其中的每个值都可以视作特征空间里的一个维度。
对于第i个样本，它对应的（标准）结果就是 y_i，总共m个样本结果组成了向量\overrightarrow{y}。
（回顾一下Cost Function：损失函数其实是定义了我们的Hypothesis h_\theta(\mathbf{X})与真实结果\overrightarrow{y}之间的距离。以此衡量训练结果。）
再补充Hypothesis：

(3)   \begin{equation*} h_\theta(x) = \theta^\top \overrightarrow{x} = \theta_1 x_1 + \theta_2 x_2 + \dots + \theta_n x_n \end{equation*}

Normal Equation 的思路类似于中学数学里求极值：对某个方程求导，然后让式子等于 0，等于 0 的点即为极值点。
但为什么上述思路能被(2)这样一个式子实现呢。

这个问题是我去年初遇到的。当时就想把阳哥哥给我的解答记录下来。拖了这么久，终于给Wordpress装了LaTeX插件，所以来记录一下：

(2)的推导方法有两种，第一种是 cost function J (1)对 \theta 这个向量的每一个分量求偏导

    \[ \begin{cases} \frac{\partial J}{\partial \theta_1} = \frac{1}{m} (h_\theta(x^1)-y^1) x_1\\ \frac{\partial J}{\partial \theta_2} = \frac{1}{m} (h_\theta(x^2)-y^2) x_2\\ \dots \\ \frac{\partial J}{\partial \theta_n} = \frac{1}{m} (h_\theta(x^n)-y^n) x_n \end{cases} \]

假设 \theta 是个n维向量，就得到了n个式子，令这n个式子都等于0，我们就得到了一个线性方程组:

    \[ \begin{cases} \frac{1}{m} (h_\theta(x^1)-y^1) x_1 = 0\\ \frac{1}{m} (h_\theta(x^2)-y^2) x_2 = 0\\ \dots \\ \frac{1}{m} (h_\theta(x^n)-y^n) x_n = 0 \end{cases} \]

这个线性方程组可以写成矩阵相乘的形式，即

(4)   \begin{equation*} \mathbf{X}^\top\mathbf{X}\theta = \mathbf{X}^\top \overrightarrow{y} \end{equation*}

(4)这个式子就是所谓的Normal Equation。它跟式(2)是等价的。

第二种方法要稍微高级一点儿，写出来会简洁得多。就是直接把cost function写成矩阵的形式，即

    \[ J = (\overrightarrow{y} - \mathbf{X}\theta)^\top (\overrightarrow{y} - \mathbf{X}\theta) \]

然后直接以这个式子对向量 \theta 求导，也会直接得出normal equation。
至于如何直接对向量求导，你可以参考wikipedia的matrix calculus。其实本质上对向量求导就是一种记号，和对向量的每个分量求导没的本质区别。

再回头看一次这个好用的Normal Equation：

    \[ best \theta = (\mathbf{X}^\top\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^\top \overrightarrow{y} \]

对于有 n 个特征维度的 \mathbf{X} 来说，用 Normal Equation 求 \theta 的复杂度是 O(n^3)，而 Gradient Descent 的复杂度为 O(kn^2)
所以，当特征维度不多时，都可以用 Normal Equation 快速求解。当 features n > 10000 时，才开始考虑使用 Gradient Descent 。

但是，这个公式显然也不是能够无条件使用的。你可以看到其中有 (\mathbf{X}^\top\mathbf{X})^{-1} ，意味着括号内的矩阵必须是可逆的。
真的是这样吗？——老师说，此处的矩阵并不必须是可逆的。在代码中，对这个矩阵的求逆直接用pinv()函数来做(也就是求伪逆、广义逆)。阳哥哥说，使用广义逆来算 \theta 是 (\mathbf{X}^\top\mathbf{X}) 不可逆时的一种传统的处理方式，可以用的原因是广义逆得出的 \theta 符合一些良好的统计性质。（具体参考：高惠璇的《统计计算》）
不过， (\mathbf{X}^\top\mathbf{X}) 不可逆往往意味着数据模型有问题（Features数量比样本数量还大，或是非常强的collinearity），遇到不可逆的情况还是返回去检查模型比较好。